22、波散射理论：从约斯特解到GLM方程

波散射理论：从约斯特解到GLM方程

1. 引言

波散射现象在均匀介质中存在障碍物或势场时出现，可从无限远处观测。在正向理论中，这种散射特性通过波算子或散射矩阵来描述，而逆理论则利用这些信息来探测障碍物或势场。传统上，有稳态和非稳态两种方法，这里采用基于一维谱理论的稳态方法。

2. 正向理论

2.1 约斯特解

波被势场 $u(x)$ 散射的问题可以用以下方程描述：
[
-f^{\prime\prime} + u(x)f = \zeta^2f, \quad -\infty < x < +\infty
]
其中，$u = u(x)$ 是实值可测函数，满足：
[
\int_{-\infty}^{\infty} (1 + |x|)|u(x)|dx < +\infty
]
$\zeta \in \mathbb{C}$，$^{\prime\prime} = \frac{d^2}{dx^2}$。

定义以下函数：
[
\tau_+(x) = \int_{x}^{\infty} |u(y)|dy
]
[
\rho_+(x) = \int_{x}^{\infty} |y||u(y)|dy
]
[
\sigma_+(x) = \tau_+(x) + \rho_+(x)
]
[
\hat{\rho} +(x) = \int {x}^{\infty} \tau_+(y)dy = \int_{x}^{\infty} (y - x)|u(