17、希尔伯特空间与傅里叶分析：理论与应用

希尔伯特空间与傅里叶分析：理论与应用

1. 希尔伯特空间基础

希尔伯特空间是泛函分析中的重要概念，它建立在向量空间和内积的基础上。

1.1 预希尔伯特空间与内积

向量空间 $L$ 上的内积 $(\cdot, \cdot)$ 是一个从 $L \times L$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射，满足以下公理：
- 对称性 ：$(u, v) = (v, u)$
- 线性性 ：$(\alpha u + \beta v, w) = \alpha(u, w) + \beta(v, w)$
- 正定性 ：$(v, v) \geq 0$，且 $(v, v) = 0$ 当且仅当 $v = 0$

这里 $u, v, w \in L$，$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$。配备了内积 $(\cdot, \cdot)$ 的向量空间称为预希尔伯特空间。

根据定理 7.1，预希尔伯特空间可以通过范数 $|f| = \sqrt{(f, f)}$ 成为赋范空间。同时，抽象的施瓦茨不等式 $|(f, g)| \leq |f| \cdot |g|$ 对于任意 $f, g \in L$ 成立。

证明施瓦茨不等式时，先假设 $f \neq 0$，定义 $\alpha = \frac{(f, g)}{|f|^2}$，利用 $0 \leq (\alpha f - g, \alpha f - g)$ 进行推导：
[
\begin{align }
0 &