6、希尔伯特空间与再生核希尔伯特空间知识解析

希尔伯特空间与再生核希尔伯特空间知识解析

一、算子特征值相关性质

在算子理论中，有一些重要的性质和结论。对于算子 (T)，有 (w(T) \leq |T|) ，并且可以证明 (\pm|T|) 中至少有一个是 (T) 的特征值。具体证明过程如下：
从条件 (2.25) 可知，存在 (H) 中的序列 ({x_n}) ，且 (|x_n| = 1) ，使得 (\langle T x_n, x_n\rangle \to |T|) 或者 (\langle T x_n, x_n\rangle \to -|T|) 。
- 当 (\langle T x_n, x_n\rangle \to |T|) 时，计算 (0 \leq |T x_n - |T|x_n|^2 = |T x_n|^2 + |T|^2|x_n|^2 - 2|T|\langle T x_n, x_n\rangle \to 0) 。由于 (T) 的紧性，存在子序列 ({x_{n_k}} \subseteq {x_n}) ，使得 (T x_{n_k} \to y \in H) 。又因为 (T x_{n_k} - |T|x_{n_k} \to 0) ，所以存在非零的 (x \in H) ，使得 (|T|x_{n_k} \to |T|x) 。进而可得 (T x = |T|x) ，即 (|T|) 是 (T) 的特征值。
- 当 (\langle T x_n, x_n\rangle \to -|T|) 时，同理可证 (-|T|) 是 (T) 的特征值。

最后假设存在 (x \in N) ，使得 (|T x| \neq 0) ，设 (T_N) 是 (T) 在 (N) 上的限制。因为 (|T_N| > 0) ，所以 (|T_N|) 或