20、在线最小生成树与距离敏感预言机技术解析

在线最小生成树与距离敏感预言机技术解析

1. 在线最小生成树问题概述

在处理在线最小生成树问题时，我们常常会遇到需要对边的权重进行预测的情况。通过对边权重的预测，我们可以更高效地构建最小生成树。这里我们关注的是一种名为 GFtP 的算法，它是对 FtP 算法的改进。

对于 GFtP 算法，我们可以通过一系列的数学推导得出其随机顺序比率的上界。具体来说，我们定义了一些概率和变量来分析算法的性能。

首先，我们得到概率 (p_i) 的上界：
[p_i \leq \frac{n - 1 - x_j - a_j}{2n - 2 - i - x_j - a_j}]
利用 (a_j + x_j \geq 0) 和 (i \leq n - 1)，进一步得到：
[p_i \leq \frac{n - 1}{2n - 2 - i}]

在添加边到 (E_{Blame}) 时，只有当 (e_{next} \in T \setminus T’) 且 (f(e_{next}) \notin (T’ \setminus T) \cap S) 时，我们会添加两条边，其他情况最多添加一条边。

当 (i = n - 1) 时，所有边都已被考虑，我们可以计算 (E_{Blame}) 的大小：
[E_{\sigma}[|E_{Blame}|] \leq \sum_{i = 0}^{n - 2} (1 + p_i) \leq \sum_{i = 0}^{n - 2} \left(1 + \frac{n - 1}{2n - 2 - i}\right) \leq (n - 1)(1 + \ln(2))]

由于边的预测误差仅用于