26、希尔伯特空间中的里兹基与框架：理论与应用解析

希尔伯特空间中的里兹基与框架：理论与应用解析

里兹基的特性与性质

里兹基在希尔伯特空间中具有重要地位。当里兹基满足(A = B = 1)时，条件(\sum_{n} |c_{n}|^{2} = |\sum_{n} c_{n} f_{n}|^{2})成立，此时的里兹基即为标准正交基。里兹基具有以下显著特性：
- 线性独立性 ：里兹基是一组向量的完备集，在最强意义上是线性独立的，即具有最小性（type 3 独立性）。
- 有界性 ：它是有界基，且其逆也是有界的。任意两个向量之间的距离至少为(2A)，即(| f_{n} - f_{m}|^{2} \geq 2A)，每个基向量的范数有界，(| f_{n}| \leq B)。
- 数值稳定性 ：在表达式(x = \sum_{n} c_{n} f_{n})中，从(c_{n})计算(x)以及从(x)计算(c_{n})在数值上是稳定的，这分别得益于(B < \infty)和(A > 0)。

此外，任何里兹基都可以通过一个有界线性变换及其有界逆从标准正交基得到。对于希尔伯特空间中的任意基({f_{n}})，存在唯一的双正交序列({g_{n}})，使得任意向量(x \in \mathcal{H})可以表示为(x = \sum_{n = 1}^{\infty} \langle x, g_{n} \rangle f_{n})以及(x = \sum_{n = 1}^{\infty} \langle x, f_{n} \rangle g_{n})。如果({f_{n}})是里兹基，那么(\sum_{n} |\langle x,