洛谷p3572 [POI2014] PTA-Little Bird（单调队列优化dp

最新推荐文章于 2024-11-01 20:17:44 发布

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本文解析了一种算法问题，目标是从起点到终点消耗最少的体力。通过动态规划和双关键字排序，维护一个单调队列来解决从高点到低点的体力消耗问题。代码示例展示了如何实现这一算法。

在这里插入图片描述

题意

有 $n$ 个点，每次从高的点到低的点不消耗体力，从低的点到高的点消耗 $1$ 点体力，问从 $1$ 到 $n$ 消耗的最少体力。

分析

不难得出转移方程：
$(i−k≤j≤i−1)f_i = min(f_j + [a_i \geq a_j])~~~~(i-k\leq j\leq i-1)$
然后我们考虑在范围内的 $f_j$
如果 $f_{j+1} < f_j$ ，那么显然 $f_{j+1}$ 更优，因为又小又在后面
如果 $f_{j+1}=f_j$ 且 $a_{j+1} >= a_j$ ，那么还是 $f_{j+1}$ 更优，可以取而代之。
这样其实是按双关键字排序的过程。
这样，我们就可以维护一个 $f$ 的单调队列，满足队列中的元素按双关键字排序。这道题就解决了。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000007
using namespace std;
int f[N], a[N], x, y, q[N];
int main(){
	int i, j, n, m, k, qu;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	scanf("%d", &qu);
	while(qu--){
		scanf("%d", &k);
		memset(f, 1, sizeof(f));
		f[1] = 0; q[x = y = 1] = 1;
		for(i = 2; i <= n; i++){
			if(x <= y && i - q[x] > k) x++;
			while(x < y){
				if(f[q[y]] < f[q[y - 1]] || (f[q[y]] == f[q[y - 1]] &&  a[q[y]] >= a[q[y - 1]])) q[y - 1] = q[y], y--;
				else break;
			}
			f[i] = f[q[x]] + (a[i] >= a[q[x]]);
			q[++y] = i;
		}
		printf("%d\n", f[n]);
	}
	return 0;
}