阿克曼转向计算过程

阿克曼转向计算过程
本文档详细说明了阿克曼转向的计算过程，确保车辆在转弯时所有车轮沿同一转弯中心的圆形路径运动。计算过程包括将输入指令（转向角和速度）转换为适当的车轮角度和速度。

1. 输入定义

转向输入：输入通常为期望的转向角$\delta$或车辆的角速度$\omega$，表示转弯速率。
速度输入：车辆的输入线速度$v$，通常为沿纵轴的速度。
车辆参数：
$L$：轴距，前后轴之间的距离。
$d$：轮距，同一轴上左右轮之间的距离。
$v_{\text{back}}$：后轮速度，在纯阿克曼转向中假设后轮直线运动。

2. 逐步计算过程

2.1 将角速度转换为转向角

如果输入为角速度$\omega$和线速度$v$，需要将其转换为平均转向角$\delta$，利用转弯半径与车辆几何的关系：$$\omega =\frac{v}{R},R=\frac{L}{\tan \delta }$$
推导得到$\delta$：$$\tan \delta =\frac{\omega L}{v},\delta =\arctan \left(\frac{\omega L}{v}\right)$$

如果输入直接是角度,则不需要转换。

2.2 计算转弯半径

转弯半径$R$是从瞬时旋转中心（ICR）到后轴中点的距离：$$R=\frac{L}{\tan \delta }$$

这里的计算不是计算最小转弯半径（最大转角下），而是输入转角下的转弯半径。

2.3 分配前轮转向角

阿克曼转向要求内外轮转向角不同，以满足转弯半径的几何约束：
内侧轮转向角${\delta }_{\text{in}}$：$${\delta }_{\text{in}}=\arctan \left(\frac{L}{R-\frac{d}{2}}\right)$$
外侧轮转向角${\delta }_{\text{out}}$：$${\delta }_{\text{out}}=\arctan \left(\frac{L}{R+\frac{d}{2}}\right)$$
注意：对于左转，左轮为内侧轮${\delta }_{\text{in}}$，右轮为外侧轮${\delta }_{\text{out}}$。右转则相反。

2.4 分配各轮速度

根据阿克曼几何，将车辆速度分配到每个车轮，确保转弯时速度匹配：
后轮速度$v_{\text{back}}$假设为输入线速度$v$，因为后轴直线运动。
前轮速度基于转弯半径和轴距计算：
左前轮速度$v_L$：$$v_L=v\cdot \frac{R-\frac{d}{2}}{R}$$
右前轮速度$v_R$：$$v_R=v\cdot \frac{R+\frac{d}{2}}{R}$$

将转角和轴距代入可得：$$v_L=v\left(1-\frac{d\tan \delta }{2L}\right),v_R=v\left(1+\frac{d\tan \delta }{2L}\right)$$

3. 总结

转向角：将角速度转换为平均转向角，然后利用阿克曼几何分配内外轮角度。
速度分配：根据各轮到ICR的径向距离分配输入速度，确保平滑转弯。
该过程保证车辆协调转弯，减少轮胎磨损并保持稳定性。

计算过程：

以给定角速度为例，左转，给定$\omega =1\text{rad/s}$，$v=10\text{m/s}$，$L=1.6\text{m}$：$$\tan \delta =\frac{1\times 1.6}{10}=0.16,\delta =\arctan (0.16)\approx 0.1585\text{rad}$$

$\delta =0.1585\text{rad}$，$L=1.6\text{m}$：$$R=\frac{1.6}{\tan 0.1585}\approx \frac{1.6}{0.16}=10\text{m}$$

$R=10\text{m}$，$d=1.0\text{m}$，$L=1.6\text{m}$：
内侧（左）轮：$${\delta }_{\text{in}}=\arctan \left(\frac{1.6}{10-0.5}\right)=\arctan \left(\frac{1.6}{9.5}\right)\approx 0.167\text{rad}$$
外侧（右）轮：$${\delta }_{\text{out}}=\arctan \left(\frac{1.6}{10+0.5}\right)=\arctan \left(\frac{1.6}{10.5}\right)\approx 0.151\text{rad}$$

$v=10\text{m/s}$，$d=1.0\text{m}$，$L=1.6\text{m}$，$\delta =0.1585\text{rad}$，$\tan \delta \approx 0.16$：
后轮速度：$$v_{back}=v$$
左前轮速度：$$v_L=10\left(1-\frac{1.0\times 0.16}{2\times 1.6}\right)=10\left(1-0.05\right)=9.5\text{m/s}$$
右前轮速度：$$v_R=10\left(1+\frac{1.0\times 0.16}{2\times 1.6}\right)=10\left(1+0.05\right)=10.5\text{m/s}$$