机器人运动学——阿克曼小车

原创已于 2024-09-19 14:26:56 修改 · 7.5k 阅读

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于 2024-01-12 17:42:41 首次发布

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本文探讨了机器人运动学在阿克曼小车中的应用，包括正解（已知末端位置求关节运动）和逆解（已知关节运动求末端位置），并利用阿克曼转向几何解释了转弯时的轮子运动策略。

机器人运动学是从几何角度描述和研究机器人的位置、速度和加速度随时间的变化规律的科学，它不涉及机器人本体的物理性质和加在其上的力。这里分享一下在学习阿克曼小车过程中，对运动学的正逆解的理解。

正解：已知机器人各个关节的运动，求解机器人本体x，y，z轴的运动。

逆解：已知机器人本体x，y，z轴方向的运动，求解各个关节的运动。

阿克曼转向几何是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。通常情况下，内侧轮胎转角更大。同时要求4个轮子运动方向垂直相交与一点，四个轮子按照同一个圆心旋转。如下图所示，为阿克曼机器人转向时的状态。

阿克曼机构结构简单、可靠性高，不需要过多的复杂部件，维护和保养成本较低，可以提高设备的使用寿命。

阿克曼小车运动原理分为很多情况，主要是直行状态下和转弯状态下。在直行状态下，小车各轮轮毂转速相同，因此直行状态下阿克曼小车前后两个轴都不需要转向。在转弯状态下，阿克曼小车前后轴的转向角度需要调整，使得车辆能够顺利完成转弯。以下以四轮的阿克曼小车为例，通过运动学分析，求解小车的转角和速度。

因为这台阿克曼小车是后驱的，所以求逆解时计算前轮的转角和后轮的速度，求正解的时候计算小车本体的速度。

图1

符号说明：

我们在已知小车本体目标速度V_x、V_y、V_z的情况下，求解前轮的转角δ_l、δ_r，以及后轮的线速度V_L、V_R。

图2

如图可以得到： $O_1O_2=\theta R=V_xt$

所以： $R=\frac{O_1O_2}{\theta }=\frac{V_xt}{\theta}=\frac{V_xt}{V_zt}=\frac{V_x}{V_z}$ ，即求得了转弯半径R。

因为线速度和角速度之间存在着关系： $V=\omega R$

所以： $V_L=\omega R_L = \omega (R-\frac{1}{2}W) = \frac{V_x}{R} (R-\frac{1}{2}W)$

$V_R=\omega R_R = \omega (R+\frac{1}{2}W) = \frac{V_x}{R} (R+\frac{1}{2}W)$

再有，通过图1中的几何关系，可以计算得到：

$\left\{\begin{matrix} \delta _l =tan^{-1}(\frac{L}{R-\frac{1}{2}W})\\ \delta _r =tan^{-1}(\frac{L}{R+\frac{1}{2}W}) \end{matrix}\right.$

其实，图1中的前轮中点处的角度，还存在阿克曼角关系： $\delta = \frac{\delta_l+\delta_r}{2}$

对于正解，相对来说就简单许多，

$\quad \ V_L+V_R =\frac{V_x}{R} (R-\frac{1}{2}W) + \frac{V_x}{R} (R+\frac{1}{2}W)=2V_x \\ \\ \Rightarrow V_x = \frac{V_R +V_L}{2}$

$V_R-V_L =\frac{V_x}{R} (R+\frac{1}{2}W) - \frac{V_x}{R} (R-\frac{1}{2}W) =\frac{V_xW}{R}$

因为 $R=\frac{V_x}{V_z}$

所以： $V_z = \frac{V_x}{R} =\frac{V_R-V_L}{V_xW}V_x = \frac{V_R-V_L}{W}$