树形DP解决有根树问题-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hesorchen/article/details/120402421

本文介绍了一种利用排名进行树形动态规划的方法来解决有根树上的最大值问题。通过定义dp数组来记录每个节点可以获得的最大值排名，最终得出根节点的最大可能值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

D. Serval and Rooted Tree

给出一颗有根树，在每个非叶子节点都有一个属性：

$m a x$ ：在所有儿子的权值中取最大值
$m i n$ ：在所有儿子的权值中取最小值

假设这颗树有k个叶子结点，现在你需要对这k个叶子结点赋值[1,k]且两两互不相同。问根结点的最大值可以是多少。

求解

很难用数值直接处理，我们使用排名进行树形dp，排名第1的权值即为k，最低排名的权值即为1。

令 $dp_u$ 表示以u为根的子树的所有叶节点中，结点u可以取得的最大值的排名，也即能得的最小排名。

如果u为：

叶节点： $dp_u=1$
$m a x$ 结点： $dp_u=min(dp_v)$
$m i n$ 结点： $dp_u=\sum dp_v$

最后答案就为 $k+1-dp_1$ 。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3e5 + 5;

vector<int> mp[N];

int best_rk[N];
int op[N];
int k;
void dfs(int u)
{
    best_rk[u] = op[u] ? 0x3f3f3f3f : 0;
    for (auto v : mp[u])
    {
        dfs(v);
        if (!op[u])
            best_rk[u] += best_rk[v];
        else
            best_rk[u] = min(best_rk[u], best_rk[v]);
    }
    if (best_rk[u] == 0x3f3f3f3f || best_rk[u] == 0)
    {
        best_rk[u] = 1;
        ++k;
    }
}
void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> op[i];
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int fa;
        cin >> fa;
        mp[fa].emplace_back(i);
    }
    dfs(1);
    cout << k + 1 - best_rk[1] << endl;
}
int main()
{
    solve();
    return 0;
}