30、图的边定向与连通性问题研究

图的边定向与连通性问题研究

1. 引言

图定向问题是一类经典问题，给定一个无向图，任务是为每条边分配一个方向，使得得到的有向图满足特定属性。例如，将无向图转换为有向无环图、强连通图或包含有向欧拉回路等。这些问题在网络设计领域非常重要，因为网络通常用有向图建模。

本文聚焦于使图成为单连通图的边定向问题。有向图 D 是单连通的，当且仅当对于每对有序顶点 (s, t)，D 中从 s 到 t 最多只有一条路径。对于无向图 G，E(G)-定向是一个映射 σ，它将 G 的每条边 {u, v} 映射到其端点 u 或 v，从而得到有向图 Gσ。如果 Gσ 是单连通的，则称 σ 是 sc-定向，G 是 sc-可定向的。我们研究的问题如下：
- 问题：SC-定向 (SCO)
- 输入 ：简单无向图 G = (V, E)。
- 问题 ：G 是否是 sc-可定向的？

此前已有对单连通图的相关研究。判断图是否为单连通的问题最早被提出，后续也有不同复杂度的算法。对于我们的 SC-定向问题，使 Gσ 成为单连通图的边定向 σ 可作为 NP 证书，因此 SCO 问题属于 NP 问题。

2. 相关概念与预备知识

2.1 图的基本概念

• 对于图 G，V(G) 是其顶点集，E(G) 是其边集。
• k-着色：对于 k ∈ N，图 G 的 k-着色是一个映射 f : V(G) → {1, …, k}，使得如果 {u, v} ∈ E(G)，则 f(u) ≠ f(v)。