12、线性系统在不同网络拓扑下的一致性分析

线性系统在不同网络拓扑下的一致性分析

1. 无向网络中线性系统的指数一致性

1.1 联合连通性对收敛的影响

通过观察 $ln(V (t))$ 的演化情况，当 $G(t)$ 满足联合 $(\delta, T)$ - 连通性条件时，指数一致性能够达成，这可从斜率看出；而当不满足该条件时，收敛速率趋近于零。

1.2 不稳定动态分析

假设矩阵 $A$ 存在不稳定模式，对于 $K = B^⊤P$（其中 $P \succ 0$），$V (t)$ 的导数为：
$\dot{V}(t) = e^⊤(t) \left[ I \otimes \left( PA + A^⊤P \right) - 2 \hat{L}(t) \otimes PBB^⊤P \right] e(t)$
若 $(A, B^⊤P)$ 可观测且 $G(t)$ 是联合 $(\delta, T)$ - 连通的，根据定理 3.62 可得：
$V (t + T ) - V (t) \leq \int_{t}^{t + T} e^⊤(\tau)[I \otimes(PA + A^⊤P - \theta P)]e(\tau) d\tau$
其中 $\theta > 0$ 且与时间无关。若 $P$ 还满足 $PA + A^⊤P - \theta P \prec 0$，则存在序列 ${V (t_0 + sT )}_{s = 1}^{\infty}$ 使得 $V (t_0 + sT )$ 以指数速度消失，进而 $V (t)$ 也会以指数速度收敛到零。不过，目前还无法验证这些条件的必要性。

1.3 状态重构

可以从信号 $x_j(t)