41、基于PEO的树宽整数线性规划及完美匹配割问题研究

基于PEO的树宽整数线性规划及完美匹配割问题研究

基于PEO的树宽整数线性规划相关内容

1. 不同松弛形式的树宽下限
   • 从TWAD通过对所有顶点对施加条件(8)，将循环不等式(9)替换为三有向循环不等式(3)，并引入额外变量$y_{ij}$得到TWLO。同时形成TWB_LO和TWC_LO这两个类似的松弛形式。
   • 存在定理4表明，对于TWB_LO存在最优解$(x^ , y^ )$，满足对于所有${i, j} \in E$，$y_{ij} = x_{ij}$；对于所有${i, j} \notin E$，$y_{ij} = y_{ji} = 0$，且满足三有向循环不等式(3)。
   • 推论1指出，对于无向图$G = (V, E)$，TWB_AD、TWC_AD、TWB_LO和TWC_LO提供的树宽下限等于$\max{|E(U)| / |U| : U \subseteq V}$。这意味着实际求解最优对偶解的问题是一个最密集子图问题。
2. 单纯性不等式的作用和影响
   • 单纯性不等式(10)是针对每个${j, k} \notin E$和所有$i \in V \setminus {j, k}$制定的。在假设$x$为整数的情况下，若弧$(i, j)$和$(i, k)$都存在，那么弧$(j, k)$和$(k, j)$中必有一个要被扩充。
   • 观察5表明，单纯性不等式(10)是二次约束$x_{jk} + x_{kj} \geq x_{ij} \cdot x_{i