6、基于Caputo型时间分数阶扩散系统的区域可控性研究

基于Caputo型时间分数阶扩散系统的区域可控性研究

在实际的控制系统中，区域可控性是一个重要的研究方向，特别是对于由Caputo分数阶导数的时间分数阶扩散系统所支配的子扩散过程。本文将深入探讨该系统的区域可控性问题，包括问题的提出、区域战略执行器的分析、区域目标控制的方法以及相关的实例验证。

问题陈述

考虑如下抽象分数阶次扩散系统，其阶数 $\alpha \in (0, 1]$：
[
\begin{cases}
{^C_0D_t^\alpha}z(t) + Az(t) = Bu(t), & t \in [0, b] \
z(0) = z_0 \in D(A)
\end{cases}
]
其中，$z \in L^2(0, b; L^2(\Omega))$，$D(A)$ 是 $-A$ 的定义域，$-A$ 在希尔伯特空间 $L^2(\Omega)$ 上生成一个 $C_0$ 半群 ${\Phi(t)}_{t \geq 0}$。此外，$u \in L^2(0, b; R^p)$，$B: R^p \to L^2(\Omega)$ 是一个线性算子（可能无界），取决于执行器的数量和结构，${^C_0D_t^\alpha}$ 表示左侧Caputo分数阶导数。

根据相关引理，对于 $t \in [0, b]$，任意给定的 $u \in L^2(0, b; R^p)$，系统的解 $z(\cdot, u)$ 可以表示为：
[
z(t, u) = S_\alpha(t)z_0 + \int_0^t (t - s)^{\alpha - 1}K_\alpha(t - s)Bu(s)ds
]