10、分数阶扩散系统的区域可观测性与梯度可观测性研究

分数阶扩散系统的区域可观测性与梯度可观测性研究

1. Caputo 型时间分数阶扩散系统

1.1 问题描述

考虑如下抽象分数阶次扩散系统：
[
\begin{cases}
{^C_0D^\alpha_t}y(t) + Ay(t) = 0, & t \in [0, b] \
y(0) = y_0 \in D(A)
\end{cases}
]
其中 (y \in L^2(0, b; Y))，(A) 是一致椭圆算子，(-A) 在希尔伯特空间 (Y := L^2(\Omega)) 上生成强连续半群 ({\Phi(t)}_{t\geq0})，初始向量 (y_0 \in Y) 未知，需通过测量值观测。测量值由输出泛函 (z(t) = Cy(t)) 给出，这里 (C : Y \to L^2(0, b; R^p)) 可能无界，依赖于传感器数量和结构（(p \in N) 为传感器有限数量）。

设 (\omega \subseteq \Omega) 是具有正勒贝格测度的给定区域，目标是根据上述系统和输出函数重建 (y_1^0)。由引理可得 (z(t) = CS_\alpha(t)y_0(x))，其中 (S_\alpha) 按特定方式定义。令 (K(t) = CS_\alpha(t))，并记 (C) 和 (S_\alpha) 的伴随算子分别为 (C^ ) 和 (S^ \alpha)，作出如下假设：
- (H3) (CS \alpha(t)) 可扩展为 (L(Y, L^2(0, b; R^p))) 中的有界线性算子 (CS_\alpha(t))；
- (H4)