11、博弈策略：逻辑 - 自动机研究

博弈策略：逻辑 - 自动机研究

在博弈论的研究中，有限呈现的无限博弈是一个重要的研究方向。我们可以将这类博弈想象成在有限图上进行，并通过展开图得到博弈树。下面将详细介绍相关的概念和方法。

1. 图上的博弈与策略

1.1 博弈竞技场

博弈竞技场是一个有限图 (G = (W^1, W^2, \rightarrow, s_0))，其中：
- (N = {1, 2}) 是玩家集合。
- (\Sigma = {a_1, a_2, \ldots, a_m}) 是有限的动作符号集合，表示玩家的移动。
- (W^i) 是玩家 (i) 的博弈位置集合，(W = W^1 \cup W^2)。
- 转移函数 (\rightarrow: (W \times \Sigma) \rightarrow W) 是一个部分函数，也称为移动函数。
- (s_0) 是博弈的初始节点。

对于 (s \in W)，其后续节点集合 (\rightarrow s = {s’ \in W | s \stackrel{a}{\rightarrow} s’ \text{ 对于某些 } a \in \Sigma})，并且假设对于所有博弈位置 (s)，(\rightarrow s \neq \varnothing)。

在竞技场中，博弈的进行可以看作是在 (s_0) 放置一个令牌。如果玩家 (i) 拥有位置 (s_0)（即 (s_0 \in W^i)），她选择一个在 (s_0) 可用的动作 (a)，并将令牌移动到 (s’)，其中 (s_0 \stackrel{a}{\rightarrow} s’)，然后博弈从 (s’) 继续。形式上，博弈中的一