11、非线性常微分方程组的求解方法

非线性常微分方程组的求解方法

微分方程在对现实现象进行建模方面有着广泛的应用。然而，只有在少数特殊和简单的情况下才能找到微分方程的解析解。因此，数值方法在求解这类微分方程时更为合适。本文将介绍一些用于求解初始值问题系统的数值方法。

1. 龙格 - 库塔方法

龙格 - 库塔方法是一种常用的求解常微分方程初值问题的数值方法。一个 $M$ 级龙格 - 库塔方法由三元组 $A = (a) {ij} \in R^{M×M}$，$b = (b)_i \in R^M$ 和 $c = (c)_i \in R^M$ （$i,j = 1,\cdots,M$）来表征，它们满足以下条件：
- 参数 $c_j$（$j = 1,\cdots,M$）满足 $0 \leq c_1 \leq c_2 \leq \cdots \leq c_M \leq 1$。
- 参数 $a {ij}$（$i,j = 1,\cdots,M$）满足 $\sum_{j=1}^{M} a_{ij} = c_i$。
- 参数 $b_i$（$i = 1,\cdots,M$）满足 $\sum_{i=1}^{M} b_i = 1$。

其具体步骤如下：
1. 将时间区间 $[a,b]$ 划分为 $N$ 个子区间 $[x_i,x_{i+1}]$（$i = 0,\cdots,N$），每个子区间的长度为 $h_i = x_{i+1} - x_i$，即 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b$。
2. 已知 $y(x_i)$，通过在 $[x_i,x_{i+1}]$ 上对微分方程进行积分来计算 $y(x_{i+1})$：
- $y