14、评估大度数同源的方法与实践

评估大度数同源的方法与实践

在椭圆曲线密码学等领域，评估同源（isogeny）是一个重要的研究内容。同源是椭圆曲线之间的一种特殊映射，在密码学的安全性和效率方面有着重要的应用。本文将详细介绍评估大度数同源的相关方法和算法，包括小度数同源的评估方法、大度数同源的计算策略以及具体的示例。

1. 基本概念

在深入探讨具体的评估方法之前，我们需要了解一些基本概念。

对于一个可分同源 $\phi: E \to E’$，其核 $C$ 并不能唯一确定 $\phi$。因为如果将 $\phi$ 与一个同构 $E’ \sim \to E’‘$ 复合，核是不变的。为了跟踪同构，我们选择 $E$ 和 $E’$ 的魏尔斯特拉斯方程，并注意到 $E’$ 的不变微分的拉回 $\phi^ (\omega_{E’})$ 等于 $E$ 的不变微分 $\omega_E$ 的常数倍。如果 $\phi^ (\omega_{E’}) = \omega_E$，则称同源 $\phi$ 是归一化的。

一个阶为 $l$ 的子群 $C \subset E[l]$ 定义了一个唯一的椭圆曲线 $E’$，使得存在一个以 $C$ 为核的归一化同源 $E \to E’$。这个同源在曲线 $E’$ 的自同构下是唯一确定的。我们可以得出，子群 $C \subset E[l]$ 确定了一个定义良好的映射 $E \to E’/Aut(E’)$，其中商 $E’/Aut(E’)$ 同构于射影直线 $\mathbb{P}^1$。在实际应用中，我们通常将点 $P \in E’(F_q)$ 映射到它在 $\mathbb{P}^1(F_q)$ 中的 $x$ 坐标。如果 $E’$ 的自同态环是 $\mathbb{Z}[i]