13、隐藏根问题与大度数同源映射评估：密码学中的新进展

隐藏根问题与大度数同源映射评估：密码学中的新进展

1. 隐藏根问题（LHRP）与代数环面投影

在密码学领域，隐藏根问题（LHRP）是一个重要的计算问题，尤其在配对密码系统的密码分析中有直接应用。这里我们聚焦于LHRP的一个特殊情况，即e次幂运算等同于向代数环面 (T_k(F_q)) 的投影。

代数环面 (T_k(F_q)) 定义为：
(T_k(F_q) = {α ∈ F_{q^k} | N_{F_{q^k}/F_{q^d}} (α) = 1 \text{ 对于所有 } d|k, d < k})
其元素个数 (|T_k(F_q)| = Φ_k(q))，其中 (Φ_k) 是第k个分圆多项式。

在LHRP中，我们选取 (e = (q^k - 1)/Φ_k(q))，这使得算法版本1中的 (Π(x)) 等于 ((x^k - 1)/Φ_k(x))。为了研究所得非线性系统的度数D，我们有如下引理：

引理1 ：假设k的素因数分解为 (k = \prod_{i = 1}^{t} p_i^{s_i})，其中 (p_i \neq p_j)（(i \neq j)）且 (s_i > 0)。定义 (\hat{k} = \prod_{i = 1}^{t} p_i)，则 (Φ_k(x) = Φ_{\hat{k}}(x^{k/\hat{k}}))。

基于此引理，我们得到推论：

推论1 ：使用引理1的符号，有 (Π_k(x) = Π_{\hat{k}}(x^{k/\hat{k}}))，其中 (Π_k(x) = (x^k - 1)/Φ_k(x))。 <