15、椭圆曲线密码学中的大度数同源评估与配对计算

椭圆曲线密码学中的大度数同源评估与配对计算

1. 大度数同源评估

在椭圆曲线的研究中，大度数同源的评估是一个重要的课题。让我们以一条具有特定性质的椭圆曲线 (E) 为例，它有 (10^{20} + 39) 个点，其自同态环 (\text{End}(E)) 同构于 (O_{\Delta})，其中 (\Delta = -3635)。

1.1 理想与同源的构建

• 素数 (l = 10^{21} + 117 = \text{nextprime}(10^{21})) 在 (O_{\Delta}) 中分裂，我们选取 (O_{\Delta}) - 理想 (L = (l, \pi_p + 469155077064851443344))，这里的 (\pi_p) 是弗罗贝尼乌斯态射在归一化同构 (\text{End}(E) \sim \longrightarrow O_{\Delta}) 下的像。
• 不整除 ([\text{End}(E) : \mathbb{Z}[\pi_p]] = 3^4 \cdot 19^2 \cdot 31^2 \cdot 1999^2) 且在 (O_{\Delta}) 中分裂的最小素数是 37，并且有 (\text{Pic}(O_{\Delta}) \sim = \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \sim = \langle [p_{37}] \rangle)，其中 (p_{37} = (37, \pi_p + 15))。经过简单计算可得 (L = p_{37}(\alpha))，其中 (\alpha = \frac{-2947049\pi_p - 708893381093724965}{3 \cdot 19 \cdot