5、低次扩展配对函数及相关定理解析

低次扩展配对函数及相关定理解析

1. 扩展配对函数基础

在研究中，有如下重要等式：
[es,r(P, Q)\overline{s}\overline{c}(s^n - 1)/r = \prod_{j = 0}^{e - 1} \left[ -w\frac{f_{s,P}(\alpha^j(Q))}{f_{s,\alpha^j(Q)}(P)} \right]^{v_j}]
此等式左边表明右边定义了一个双线性配对，当且仅当条件 (s^n \not\equiv 1 \mod r^2) 成立时，该配对是非退化的。同时，(\frac{f_{r^2,P}(\alpha^j(Q))}{f_{r^2,\alpha^j(Q)}(P)} = e(P, \alpha^j(Q))^r = 1)。将上式右边与该式左边的 (\lambda v_j) 次幂相乘，可得：
[es,r(P, Q)\overline{s}\overline{c}(s^n - 1)/r = \prod_{j = 0}^{e - 1} \left[ -w\frac{f_{s + \lambda r^2,P}(\alpha^j(Q))}{f_{s + \lambda r^2,\alpha^j(Q)}(P)} \right]^{v_j}]
这表明等式右边仅依赖于 (s) 模 (r^2) 的值，进而也仅依赖于 (v) 模 (r^2) 的值。因此，可将之前证明中的额外假设替换为 (\nu = \min(2, v_r(q^k - 1))) 和 (v = s^{-1}q^d \mod r^{\nu})。

2. 定理 3：扩展配对函数

2.1 定理内容

设 (h \in \mathb