8、无监督全局评估：数据映射中的失真与评估指标

无监督全局评估：数据映射中的失真与评估指标

在数据降维（DR）过程中，将高维数据映射到低维空间时，失真问题普遍存在。本文将深入探讨数据映射中的连续性、失真原因、标量指标以及聚合方法和图表表示等内容。

1. 数据映射的连续性

在实际应用中，大多数DR方法仅定义了离散映射 $\varphi : {\xi_i} \to {x_i}$。连续性的正式概念需应用于将 $\varphi$ 扩展到整个数据流形 $M$ 的映射 $\tilde{\varphi} : M \to E$。

• 流形撕裂或邻域缺失 ：若数据点 $\xi_0$ 的邻域点 $\xi$（即在以 $\xi_0$ 为中心的“任意”球内的点）未被映射到 $\xi_0$ 的像 $x_0 = \tilde{\varphi}(\xi_0)$ 周围的球内，则表明映射 $\tilde{\varphi}$ 出现连续性破坏。
• 流形粘合或虚假邻域 ：若嵌入点 $x_0$ 的邻域点 $x$（即在以 $x_0$ 为中心的“任意”球内的点）未被映射到 $x$ 的像 $\xi = \tilde{\varphi}^{-1}(x)$ 周围的球内，则意味着映射的逆 $\tilde{\varphi}^{-1}$ 出现连续性破坏。这里假设 $\tilde{\varphi}$ 存在逆映射。

理想的映射应是同胚或双连续函数，即连续且其逆也连续的可逆函数。后续将介绍的失真指标会基于离散映射 $\varphi$ 的可用信息，评估理论映射 $\tilde{\varphi}$（及其逆）的连续性破坏情况。对于基于排名的指标，这通过考虑 $