9、数据映射评估与解释：方法、指标与工具

数据映射评估与解释：方法、指标与工具

1. 无监督全局评估

1.1 Shepard图示例

Shepard图可以直观展示不同降维方法对数据集的处理效果。以PCA和tSNE处理鸢尾花（Iris）和数字（Digits）数据集为例：
- 鸢尾花数据集 - PCA ：PCA映射能相对真实地表示距离。
- 鸢尾花数据集 - tSNE ：tSNE对于小距离有较好的表示，但会拉伸大距离，在图中表现为两条有偏移的噪声线。
- 数字数据集 - PCA ：PCA会压缩流形，这与其线性投影的性质相符。
- 数字数据集 - tSNE ：tSNE对小距离表示良好，但会拉伸长距离。

1.2 共排序矩阵

共排序矩阵是一个 (N - 1 \times N - 1) 的矩阵，元素 ((\rho, r)) 表示在数据空间中邻域排名为 (\rho_{ij} = \rho)，在嵌入空间中排名为 (r_{ij} = r) 的成对邻域关系的数量。给定邻域尺度 (\kappa)，共排序矩阵可分为四个块：
| 矩阵块位置 | 含义 |
| ---- | ---- |
| 左上（(i \leq \kappa) 且 (j \leq \kappa)） | 可靠的 (\kappa) 邻域 |
| 右下（(i > \kappa) 且 (j > \kappa)） | 不存在的 (\kappa) 邻域 |
| 左下（(i > \kappa) 且 (j \leq