6、基于维纳过程的设备剩余寿命预测方法

基于维纳过程的设备剩余寿命预测方法

1. 随机参数的实时更新

对于特定的退化设备，在其生命周期内的任意时刻 $t_k$，退化模型的随机参数 $\alpha$ 可根据该时刻之前设备的所有观测数据 $x_{1:k} = {x_1, x_2, \cdots, x_k}$ （对应设备从 $t_1$ 到 $t_k$ 的所有观测数据）来获取。借助贝叶斯规则，可得到退化设备在 $t_k$ 时刻的后验分布：
[p(\alpha|x_{1:k}) \propto p(x_{1:k}|\alpha)\pi_0(\alpha)]
其中，$p(x_{1:k}|\alpha)$ 表示在给定随机参数 $\alpha$ 下的似然函数，先验分布 $\pi_0(\alpha)$ 已通过特定公式估计得出。

具体而言，$p(x_{1:k}|\alpha)$ 可基于布朗运动的基本性质和相关公式得到：
[p(x_{1:k}|\alpha) = \frac{1}{\prod_{q = 1}^{k}\sqrt{2\pi\sigma^2(t_q - t_{q - 1})}}\exp\left{-\sum_{q = 1}^{k}\frac{(x_q - x_{q - 1} - \alpha\int_{t_{q - 1}}^{t_q}u(\tau; \beta)d\tau)^2}{2\sigma^2(t_q - t_{q - 1})}\right}]
初始时刻（$t_0 = 0$）的退化量 $x_0 = 0$。

由于 $p(x_{1:k}|\alpha)$ 和 $\pi_0(\alpha)$ 均为正态分布，$p(\alpha|x_{1:k})$ 同样为正态分布。基于上述公式，$p(\alph