8、无监督全局评估：高维数据映射的质量评测

无监督全局评估：高维数据映射的质量评测

在高维数据处理中，将高维数据映射到低维空间是常见的操作。然而，这个过程中往往会出现各种失真情况，因此对映射的质量进行评估至关重要。本文将深入探讨无监督全局评估的相关内容，包括连续性概念、失真原因、标量指标、聚合方法以及可视化图表等方面。

1. 连续性与映射失真

在实际应用中，大多数降维（DR）方法仅定义了离散映射。连续性的正式概念可应用于将离散映射扩展到整个数据流形的情况。

• 流形撕裂与邻域缺失 ：当数据点 $\xi_0$ 的邻域点 $\xi$ （即在以 $\xi_0$ 为中心的“任意”球内的点）未被映射到 $\xi_0$ 的映射图像 $x_0$ 周围的球内时，就出现了流形撕裂或邻域缺失的情况，这表明映射的连续性被破坏。
• 流形粘合与虚假邻域 ：若嵌入点 $x_0$ 的邻域点 $x$ 未被映射到 $x$ 的映射图像 $\xi$ 周围的球内，则意味着映射的逆的连续性被破坏，即出现了流形粘合或虚假邻域的问题。

理想的映射应是同胚映射，即连续且其逆也连续的可逆函数。失真指标基于离散映射的可用信息，评估理论映射（及其逆）的连续性破坏情况。对于基于排名的指标，通常通过考虑 $\kappa$ - 邻域的保留来实现。

2. 失真普遍存在的原因

在将高维数据映射到低维空间的过程中，失真几乎无处不在。主要原因如下：
- 优化算法的局限性 ：大多数 DR 技术的应力函数是非凸的，优化算法可能陷入局部最优，无法收敛到全局最优。 <