5、节点向量、节点与控制点：IGA 中的关键概念解析

节点向量、节点与控制点：IGA 中的关键概念解析

在等几何分析（IGA）领域，节点向量、节点和控制点是构建精确几何模型和进行有效分析的核心要素。下面我们将深入探讨这些概念及其在 IGA 中的应用。

1. 节点向量基础

节点向量在一定程度上决定了曲线的多项式次数 (p)。若节点向量的首尾节点值重复 ((p + 1)) 次，则称其为开放节点向量。大多数 IGA 研究采用开放非均匀有理 B 样条（ONURBS），不过通常仍简称为 NURBS。

在 IGA 研究中，曲线分析通常从由几何节点向量定义的精确 NURBS、B 样条或 T 样条几何形状开始。几何节点向量 (K_n = {n_1, n_2, \ldots, n_{m=n+p+1}})，其中节点区间 ([n_i, n_{i+1})) 是一个半开区域，即 (a \leq x \leq (b - \varepsilon))，(\varepsilon \ll 1)。

历史上，节点区间仅代表几何的一个片段。在 IGA 中，它们成为分析实体，并定义了该实体的 IGA 矩阵必须进行积分的范围。Hughes 等人（2005）在开创性论文中引入的第一种 IGA 分析区域是节点区间，其几何 NURBS 或 B 样条也用于近似分析变量。这个分析域与有限元分析（FEA）的单元域类似，在 IGA 文献中常被称为“单元”。为强调其与 FEA 单元的区别，这里将其表示为“iElement”（尽管发音仍为“element”），其拼写暗示该域通过更高的连续性得到改进，并通过具有比占据相同体积的 FEA 单元更大的支撑区域而得到扩展。

2. 典型节点向量

对于几何三次 B 样条节点向量，最常见的形式可能