5、节点向量、节点与控制点：IGA 分析的核心要素

节点向量、节点与控制点：IGA 分析的核心要素

在工程分析领域，等几何分析（IGA）作为一种强大的工具，正逐渐崭露头角。而理解节点向量、节点和控制点的概念，对于掌握 IGA 分析至关重要。本文将深入探讨这些核心要素，为你揭开 IGA 分析的神秘面纱。

1. 节点向量基础

节点向量在一定程度上决定了曲线的多项式次数 ( p )。当节点向量的首尾节点值重复 ( (p + 1) ) 次时，我们称其为开放节点向量。在大多数 IGA 研究中，常用的是开放非均匀有理 B 样条（ONURBS），不过人们通常还是将其简称为 NURBS。

IGA 对曲线的研究通常始于由几何节点向量定义的精确 NURBS、B 样条或 T 样条几何形状。几何节点向量 ( K_n = {n_1, n_2, \ldots, n_{m=n+p+1}} ) 具有节点区间 ( [n_i, n_{i+1}) )，这里的 ( [a, b) ) 表示半开区域，即 ( a \leq x \leq (b - \varepsilon) )，其中 ( \varepsilon \ll 1 )。

在历史上，节点区间仅仅代表几何图形的一个线段。而在 IGA 中，它们成为了分析实体，并定义了该实体的 IGA 矩阵必须进行积分的范围。Hughes 等人（2005）在开创性论文中引入的第一种 IGA 分析区域就是节点区间，其几何 NURBS 或 B 样条也用于近似分析变量。这个分析域与有限元分析（FEA）的单元域明显类似，在 IGA 文献中常被称为“单元”。为了强调 IGA 域与 FEA 单元的区别，这里将其表示为“iElement”（尽管发音仍为“element”），其拼写意味着该域通过更高的连续性得到了改进，并通过具有比占据相同