6、样条曲线与等几何分析中的关键概念解析

样条曲线与等几何分析中的关键概念解析

1. B样条曲线的特性

B样条曲线有一个重要特性，即当多项式阶数升高时，曲线的曲率会减小，形状变得更平滑。这种相对平滑性在几何特征上通常是理想的。然而，在等几何分析（IGA）中，提高B样条的阶数可能会平滑掉分析模型解中的局部变化。所以，IGA研究中使用的B样条阶数通常小于6。而在有限元分析（FEA）中，情况相反，提高拉格朗日插值基的阶数会增加曲率变化，甚至在端点处可能导致病态条件。因此，FEA插值通常不超过5阶，除非是高阶（>4）常微分方程。出于后续会讨论的原因，在二维和三维分析中，使用奇数次基函数更为方便。

2. 索引空间

在IGA中，使用节点向量的顺序整数控制网格作为规则的单位单元格整数空间来表示曲线是很有用的。例如，一维节点坐标列表可以表示为：

I = {1 2 3 4 5 6} 
或 Kn = {n1 n2 n3 n4 n5 n6}，KL = 6

整数控制网格可以提取相应的节点值，并用于绘制表示每个节点跨度方向的线或单元格，同时将跨度编号（或i元素编号）放置在每个非空单元格的左下角（LLC）。

在二维和三维中，这种整数控制网格分别变成单位正方形单元格网格和单位立方体网格，有助于可视化曲线、曲面和体积重叠分析区域中非常重要的非零NURBS贡献。

整数索引空间及其与参数空间和物理空间的关系中，最重要的特征是索引空间有助于识别（可视化）与节点点相关的所有基函数的非零支撑区域。当没有重复节点时，唯一节点向量条目的差异表明在该索引方向上存在一个i元素。