6、节点向量、节点与控制点及参数和物理导数解析

节点向量、节点与控制点及参数和物理导数解析

1. B样条曲线特性与阶数影响

B样条曲线有一个重要特性，当多项式阶数升高时，曲线的曲率会减小，形状变得更平滑。这种相对平滑性在几何特征中通常是理想的。不过，在等几何分析（IGA）里，提高B样条的阶数可能会平滑掉分析模型解中的局部变化，所以IGA研究中B样条的阶数通常小于6。而在有限元分析（FEA）中情况相反，提高拉格朗日插值基的阶数会增加曲率变化，甚至在端点处可能导致病态问题，因此FEA插值通常不超过5阶，除非是高阶（>4）常微分方程。在二维和三维分析中，使用奇数次基函数会更方便。

2. 索引空间

在IGA中，使用节点向量的顺序整数控制网格作为规则的单位单元格整数空间 (I = {I_1, I_2, \ldots, I_{m=n+p+1}}) 来表示曲线很有用。例如，一维节点坐标列表可以表示为 (I = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) 或 (K_n = {n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6})，其中 (KL = 6)。整数控制网格可以提取相应的节点值，用于绘制表示每个节点跨度方向的线或单元格，并在每个非空单元格的左下角放置跨度编号（或i元素编号）。

在二维和三维中，这种整数控制网格草图分别变成单位正方形单元格网格和单位立方体网格，有助于可视化曲线、曲面和体积重叠分析区域中非常重要的非零NURBS贡献。整数索引空间及其与参数空间和物理空间的关系中，最重要的特点是索引空间有助于识别（可视化）与节点相关的所有基函数的非零支撑区域。当没有重复节点时，唯一节点向量条目的差异表明该索引方向存在i元素。

考虑两个节点向量的张量积及其索引空间、参数空间、物理空间和数值积分