3、数字信号处理中的傅里叶变换相关知识

数字信号处理中的傅里叶变换相关知识

1. 信号采样

1.1 理想采样

理想采样是通过将信号与梳状函数 combT(t) 相乘来实现的，它能获取连续函数在等时间间隔上的精确值。采样后的函数由等间距的冲激函数组成，数学表达式为：
[
f_s(t) = f(t)\text{comb} T(t) = \sum {n = -\infty}^{\infty} f(t)\delta(t - nT) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} f(nT)\delta(t - nT), n = 0, \pm1, \pm2, \cdots
]

1.2 采样对频谱的影响

由于计算机处理信号时往往需要对连续函数进行采样，因此自然会思考采样过程是否会改变原始信号的频谱。通过傅里叶变换性质可得：
[
F_s(\omega) = \mathcal{F}{f(t)\text{comb} T(t)} = \frac{1}{2\pi} F(\omega) * \mathcal{F}{\text{comb}_T(t)} = \frac{1}{T} \sum {n = -\infty}^{\infty} F(\omega - n\omega_s)
]
这里基于傅里叶变换的性质：两个时间函数相乘的傅里叶变换等于它们傅里叶变换的卷积，且使用了 combT(t) 函数的傅里叶变换形式。

需要注意的是，采样函数的频谱是原信号频谱的移位叠加，所以会产生频谱失真。不过，如果增加采样频率（即减小采样时间 T），失真会逐渐减小。当采样时间足够小时，失真可忽略不计，此时就能通过