18、函数组合、函子与幺半群的深入解析

函数组合、函子与幺半群的深入解析

函数组合的结合性

函数组合不满足交换律，但具有结合性。通过一个图可以看出，从 A 到 D 可以选择上路径（A→C→D）或下路径（A→B→D）来组合函数。函子的概念是将一个范畴中的图转换为另一个范畴中的图，这常常能让我们将一个范畴中的思想和定理转换到另一个范畴中。

法律义务情境下的函数组合

假设 Larry 同意在 10 月 1 日之前支付 Lucy 5000 美元，但日期已过。Lucy 想拿到钱，Larry 也想支付，但他没钱。Lucy 是否应该起诉 Larry 来让他付款呢？

以下范畴图描述了他们的情况：
- 范畴状态：
- A = 今天的状态（10 月 12 日）
- B = Lucy 要求诉讼
- C = Lucy 收到付款
- 范畴态射：
- f = 法律费用（双方均为 2000 美元以上）
- g = Larry 支付 Lucy 5000 美元
- h = Larry 支付 Lucy 5000 美元

如果 Larry 真诚地向 Lucy 传达希望多一些时间付款或允许他直接向她定期付款而不通过法院系统，Lucy 会选择哪条路径呢？显然，两人最终会从 A 到 C，但哪条路径最短？哪条路径在时间和财务费用上成本更高？

范畴理论回顾

我们连接从 A 到 B 和从 B 到 C 的两个箭头，以及另一个从 A 到 C 的等效箭头。A、B 和 C 被称为对象，它们可以代表任何事物。在这个例子中，它们代表状态——起始（A）、中间（B）和最终（C）状态。在另一个例子中，定义域和值域代表不同的