12、机器学习算法：局部投影学习与高斯混合模型的变分学习

机器学习算法：局部投影学习与高斯混合模型的变分学习

在机器学习领域，分类和聚类是两个重要的任务，不同的算法在性能、计算复杂度和鲁棒性等方面有着不同的表现。本文将介绍局部投影学习（LPL）以及基于熵的变分高斯混合模型学习方法，分析它们的特点并通过实验比较不同算法的性能。

局部投影学习（LPL）

原理

局部投影学习是对投影学习（PL）的一种改进，通过引入最近邻的局部化方法，提高了算法的可扩展性。LPL 有效的前提是核函数在特征空间中，当两个点距离较远时，核函数值趋近于零，例如径向基函数。同时，LPL 中的估计函数 $\hat{f}$ 会根据给定的数据 $x$ 发生变化。在 $\ell$ 较大时，$G_{K,X}$ 可能会出现奇异性问题，但 $G_{K,X_{kNN}}$ 在大多数情况下是非奇异的。与原始的 PL 相比，LPL 的主要优势在于计算成本的降低，虽然对于每个数据 $x$ 都需要计算 $k \times k$ 大小的 $G_{K,X_{kNN}}$ 的逆矩阵，但由于 $k$ 相对于 $\ell$ 非常小，所以计算成本可以忽略不计。

从性能上看，LPL 也可能比 PL 有一定的提升。考虑公式中的权衡关系，选择给定数据的 $k$ 个最近邻，与使用所有样本的情况相比，第一项（近似项）几乎保持不变，而第二项由于样本数量的减少而必然减小，从而实现更好的权衡。

与 SVM 和 PL 的比较

为了更好地理解 LPL 的特点，我们将其与支持向量机（SVM）和投影学习（PL）进行比较。在简化假设下，即所有训练样本都能以正间隔正确分类，并且 ${1} \subset H_{K}$，三种算法的优化准则如下：
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