7、复杂网络中的结构模式与谱分析

复杂网络中的结构模式与谱分析

1. 引言

在研究复杂网络时，我们常常关注网络的结构和性质。通过谱分析，我们可以揭示网络中的一些重要结构模式，这对于理解网络的功能和动态具有重要意义。本文将探讨复杂网络的结构类以及节点间的通信性和社区划分。

2. 网络的结构类

2.1 超均匀网络

最简单的网络类是具有非常均匀结构的网络，在这类网络中，“局部所见即全局所得”。为了定量分类这些网络，我们引入扩展常数（或等周常数）$\varphi(G)$：
[
\varphi(G)=\inf_{S\subseteq V, 0<|S|\leq\frac{|V|}{2}}\frac{|\partial S|}{|S|}
]
其中，$S$ 是节点的子集，$|S|$ 是子集 $S$ 的基数，$\partial S$ 是 $S$ 的边界，即 $S$ 中节点与非 $S$ 中节点之间的链接数。

在超均匀网络中，$\varphi(G)=O(1)$，这意味着对于网络中的所有子集 $S\subseteq V$，子集 $S$ 内部的链接数与从 $S$ 出去的链接数大致相同。高扩展意味着高均匀性和更好的连通性，即要将网络拆分成孤立块所需移除的链接数相对于网络中的节点数较高。

谱图理论中的一个著名结果将扩展常数与邻接矩阵的特征值联系起来。对于具有特征值 $\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ 的正则图 $G$，扩展因子有如下边界：
[
\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{2}\leq\varphi(G)\leq\sqrt{