9、分布式参数控制系统中的有限元方法

分布式参数控制系统中的有限元方法

1. 引言

在分布式参数系统（d.p.s.）领域，理论与实际应用之间存在着较大差距。在20世纪70年代初，Robinson就指出，虽然已有大量理论，但实际应用却很少。近年来，Ray的调查也证实了这种情况并未有实质性改变，尤其是在工业过程的在线估计和控制等重要应用方面。

将d.p.s.控制理论应用于实践的主要障碍之一，是求解相关偏微分方程（p.d.e.）所需的计算量。如果控制领域的研究人员能充分关注数值分析领域近期提供的高效方法，这一障碍是可以克服的。

在过去几年里，有限元（f.e.）方法在工程的多个领域变得极为流行，可用于解决边界值问题和初值问题，并且在系统工程文献中也出现了许多有趣的仿真研究。同时，数值分析不断提供新的理论成果，为应用提供了坚实的基础。

在控制领域，关注f.e.方法的研究相对较少。f.e.近似已被用于椭圆和抛物系统的识别，常应用于稳态地下含水层；也用于扩散方程的次优滤波、最优设计和自由边界问题的求解。一些学者还研究了某些最优控制问题的f.e.解的收敛性。

2. 有限元空间的构建

2.1 基本思想

有限元方法的基本思想是将一个域Ω（Ω属于$R^m$，m = 1,2,3）视为简单形状子域（元素）的并集，并通过连续分段多项式函数的线性组合来近似定义在Ω上的函数u，每个分段多项式函数仅在“少数”元素上非零。

2.2 二维多边形域的三角网格

考虑平面上的多边形域Ω，其上有三角网格τ，使得Ω的边界Γ的边属于该网格。这样，Ω被划分为三角形（元素）$e_i$（i = 1,2,…,Ne）。假设元素是Ω的闭子域，任意两