波动与色散特性及小波变换应用解析

1、对于一个弹簧振子，施加的力与振子振幅之间的相位差会随施加力的频率而变化。在共振频率以及远低于和远高于共振频率时，相位差分别是怎样的？

在共振频率时，相位 φ 约等于 π/2，即输出相对于施加的力在相位上滞后约 π/2。

• 当施加频率低于“自然”频率时，相位差小于 π/2；
• 当施加频率高于“自然”频率时，相位差大于 π/2。

2、将交流电压(V (t) = V_1 cos(ω_Ft))施加到一个电振荡电路中，ω_F等于该电路的共振（角）频率。经过很长时间后，电路中的振荡稳定下来，电流波动的振幅为I_1。从将交流电压连接到电路到电流达到0.9×I_1的时间间隔为t_1。然后我们移除电压，让电路恢复静止。接着我们重新连接交流电压，但此时电压振幅变为原来的两倍：V (t) = 2V_1 cos(ω_Ft)。(a) 重新连接交流电压很长时间后，电路中的电流（相对于I_1）有多大？(b) 电路中电流的振幅达到其长期极限值的90%需要多长时间？(c) 在这种情况下，“长期值”是什么意思？

(a) 重新连接交流电压很长时间后，电路中电流的振幅与电压成正比，电压变为原来的两倍，所以电流也变为原来的两倍，即相对于 $ I_1 $ 为 $ 2I_1 $。

(b) 由于电路的特性未变，达到 90% 长期值所需时间仍为 $ t_1 $。

(c) “长期值”指的是在交流电压施加很长时间后，电路中的振荡达到稳定状态时电流的振幅。

3、正常色散和反常色散的区别是什么？

在ω - k图中，曲线向下弯曲时，相速度随波数增加而减小（波长变小），称为 正常色散 ；曲线向上弯曲时，相速度随波数增加而增加（波长变小），称为 反常色散 。

此外：

• 正常色散 时，群速度小于相速度（如 $ v_g = \frac{1}{2}v_p < v_p $），波包在包络曲线下相对于包络向前移动，波包前端的波会随时间消失，后端