48、探索聚类集成技术性能极限与多特征相似性轮廓分组

探索聚类集成技术性能极限与多特征相似性轮廓分组

1. 聚类集成技术性能极限探索

在聚类集成技术中，我们关注如何衡量聚类结果的质量以及探索其性能极限。首先，定义了距离总和（SOD）的概念，对于一个聚类结果 $\tilde{P}$，其 SOD 为 $SOD(\tilde{P}) = \sum_{i=1}^{N} d(\tilde{P}, P_i)$，其中 $d$ 是距离函数，$P_i$ 是已知的分区。而最优分区 $P^ $ 的 SOD 为 $SOD(P^ ) = \sum_{i=1}^{N} d(P^ , P_i)$，并且有 $SOD(\tilde{P}) \geq SOD(P^ )$。

由于 $P^ $ 和 $SOD(P^ )$ 通常是未知的，我们采用一个下界 $\Gamma$ 来衡量 $\tilde{P}$ 的质量，即 $0 \leq \Gamma \leq SOD(P^*) \leq SOD(\tilde{P})$，用 $SOD(\tilde{P}) - \Gamma$ 来评估 $\tilde{P}$ 的质量。这个下界 $\Gamma$ 可以通过线性规划来计算，具体如下：
最小化 $x_1 + x_2 + \cdots + x_N$，约束条件为：
- 对于任意 $i, j \in {1, 2, \cdots, N}$，$i \neq j$，有
- $x_i + x_j \geq d(P_i, P_j)$
- $x_i + d(P_i, P_j) \geq x_j$
- $x_j + d(P_i, P_j) \geq x_i$
- 对于任意 $i \in {1, 2, \cd