9、西格尔 - 雅可比流形与约化方法在多体系统中的应用

西格尔 - 雅可比流形与约化方法在多体系统中的应用

1. 西格尔 - 雅可比流形相关研究

西格尔 - 雅可比流形的研究在数学物理领域具有重要意义。雅可比群在量子力学、量子光学等多个物理分支中都有重要应用。

1.1 基本定义与背景

雅可比群定义为半直积 (G_J^n = H_n \rtimes Sp(n, \mathbb{R})_{\mathbb{C}})，其中 (H_n) 是 ((2n + 1)) 维海森堡群。西格尔 - 雅可比球 (\mathcal{D}_J^n = \mathbb{C}^n \times \mathcal{D}_n)，这里 (\mathcal{D}_n) 是西格尔球；西格尔 - 雅可比上半平面 (\mathcal{X}_J^n = \mathcal{X}_n \times \mathbb{R}^{2n})，(\mathcal{X}_n = Sp(n, \mathbb{R})/U(n)) 是西格尔上半平面。存在群同构 (\Theta : G_J^n(\mathbb{R}) \to G_J^n)，且 (G_J^n) 在 (\mathcal{D}_J^n) 和 (\mathcal{X}_J^n) 上的作用是兼容的。

雅可比群的全纯不可约酉表示已经被构建，其西格尔 - 雅可比域的几何性质也得到了深入研究。此外，雅可比群还与相干态和压缩态等物理概念相关。

1.2 西格尔 - 雅可比球 (\mathcal{D}_J^n)

• 雅可比代数 ：由海森堡代数 (\mathfrak{h} n) 和实辛代数 (\mathfrak{sp}(n, \mathbb