6、哈密顿力学相关知识解析

哈密顿力学相关知识解析

1. 哈密顿量与正则变换

在力学体系的研究中，哈密顿量起着关键作用。通过正则变换，我们可以将一个复杂的力学问题转化为更易于处理的形式。

设 $S$ 是旧坐标和新动量的函数，在积分上限处表示的作用量。通过系数相等，我们可以得到如下关系：
- $Q_i = \frac{\partial S}{\partial P_i}$
- $\tilde{H} = H + \frac{\partial S}{\partial t}$

例如，当 $S = \sum_{k} q_k P_k$，$F = S(q, P, t) - \sum_{i} P_i Q_i$ 时，会产生恒等变换 $P = p$，$Q = q$。

对于给定的哈密顿量 $H(p, q) = vp + (\frac{A}{p})^2 + B^2 p^4(q - vt)^2$，其中 $A$、$B$、$v$ 为常数，根据生成函数 $F(q, Q, t) = \frac{q - vt}{Q}$ 进行变换。
- 首先计算：
- $p = \frac{\partial F}{\partial q} = \frac{1}{Q}$
- $P = -\frac{\partial F}{\partial Q} = \frac{q - vt}{Q^2}$
- $\frac{\partial F}{\partial t} = -\frac{v}{Q}$
- 然后得到变换后的哈密顿量：
- $\tilde{H}(P, Q) = H + \frac{\partial F}{\partial t} = A^2Q^2 + B^2P^2$