21、作为逻辑连接词的真值

作为逻辑连接词的真值

1. 引言

一些真值理论能够从紧缩论的角度表示并证明诸如“你所说的一切都是真的”或“PA的所有定理都是真的”这类一般性陈述。然而，这些理论存在ω - 不一致性问题，这是由麦吉悖论、雅布罗悖论等导致的。本文将从证明论语义学的角度探讨一般性与ω - 不一致性之间的关系，具体方法是将真值视为一种逻辑连接词。

需要说明的是，我们并非主张用逻辑连接词而非谓词来表示真值概念，尽管有作者认为紧缩论的真值是一种逻辑表达式。我们的目的是为分析ω - 不一致真值理论中真值谓词的行为提供一个新视角。

我们分析的对象是弗里德曼 - 希尔德的真值理论FS，该理论已知是ω - 不一致的。它由PA的所有公理和模式，以及以下特殊规则组成：
- 形式交换律（FC） ：对于任何逻辑连接词◦和量词Q，有$Tr(x˙◦y) ≡ Tr(x) ◦ Tr(y)$，$Tr(Qz(x(z))) ≡ QzTr(x(z))$。
- 两条推理规则NEC和CONEC ：
- $\frac{\phi}{Tr(\lceil\phi\rceil)}$ （NEC）
- $\frac{Tr(\lceil\phi\rceil)}{\phi}$ （CONEC）

其中$\lceil\phi\rceil$是$\phi$的哥德尔编码。从朴素证明论语义学的角度来看，NEC类似于Tr的引入规则，CONEC类似于Tr的消除规则，因此自然会提出这样一个问题：能否将FS的真值谓词Tr视为一个逻辑连接词？

从朴素证明论语义学的观点来看，成为逻辑连接词意味着要有其引入规则和消除规则。然而，有负面