46、基于支持枚举法计算行动图游戏的纳什均衡

基于支持枚举法计算行动图游戏的纳什均衡

1. 引言

在博弈论中，同时行动、完全信息博弈的经典表示形式是标准型。然而，由于这种表示形式的规模会随着玩家数量的增加呈指数级增长，因此对于涉及多个玩家的交互建模来说并不实用。为了解决这个问题，人们提出了许多紧凑表示有趣博弈的方法。行动图游戏（AGGs）统一了以往的表示方法，并且能够在多项式空间内表示许多其他类型的博弈。

计算紧凑表示博弈的解概念（如纳什均衡）是一个活跃的研究领域。目前，一种有效的方法是对现有的基于标准型的算法进行修改，使其能够高效地处理紧凑表示。支持枚举法（SEM）在标准型博弈中表现出了出色的实证性能，但尚未被扩展到紧凑表示的博弈中。本文将介绍如何将SEM扩展到AGGs表示中，从而在最坏情况下的运行时间上实现指数级的改进。

2. 技术背景

2.1 行动图游戏

行动图游戏通过利用收益中的几种结构来实现紧凑表示。
- 匿名性 ：一个代理的收益仅取决于他自己的行动和其他代理所诱导的“配置”，即每个行动的代理数量的元组。这意味着代理的收益不依赖于哪个代理采取了哪个行动，从而减少了表示的开销。
- 上下文特定独立性 ：一个给定的代理只关心其他代理采取特定子集行动的情况。这种独立性通过行动图来编码，行动图是一个有向图，其中每个节点对应一个行动，并且一个行动的收益仅取决于其相邻节点的计数。

形式上，一个行动图游戏是一个四元组 $(N, A, G, u)$，其中：
- $N$ 是代理的集合 $(1, 2, …, n)$；
- $A = \Pi_{i\in N