47、计算AGG纳什均衡与资源共享游戏的均衡近似

计算AGG纳什均衡与资源共享游戏的均衡近似

在博弈论和资源共享领域，计算纳什均衡以及理解系统在不同条件下的均衡状态是重要的研究方向。下面将详细介绍相关的算法和模型。

1. AGG-SEM算法分析

在计算行动图游戏（AGG）的纳什均衡时，支持枚举法（SEM）是一种有效的方法。其中，AGG-SEM和NFG-SEM是两种不同的实现方式。

1.1 AGG-SEM TGS可行性程序复杂度

AGG-SEM的TGS可行性程序最坏情况下的规模为$O(n^2m^2ℓ^2)$。具体证明如下：
- 对于每个$j \in {1, \ldots, n}$，引入$O(ζ)$个新约束，总共得到$O(nζ)$个约束。
- 每个约束最多包含$O(ζm)$项。
- 由于$ζ$是$O(ℓ)$，输出需要$O(nmℓ^2)$空间。
- 该程序需要对每个代理$i$和$A_i$中的每个动作运行一次，总共运行$O(nm)$次。因此，TGS可行性程序需要$O(n^2m^2ℓ^2)$空间。

1.2 渐近分析

假设使用最坏情况运行时间为$O(2^x)$的多项式可行性求解器（$x$是可行性程序的长度），对AGG-SEM和NFG-SEM进行渐近分析：
- 定理1 ：NFG-SEM在AGG中找到样本纳什均衡需要双重指数时间。在最坏情况下，AGG可能有$Ω(2^ℓ)$个支持配置文件，搜索需要遍历一个有$O(2^ℓ)$个叶节点和$O(2^ℓ)$个内部节点的树。求解TGS在最坏情况下需要$O(2^{nm^2ℓ})$运行时间，因此总运行时间为$O(2^{nm^2ℓ + ℓ})$。
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