69、传感器与信息空间：连续状态下的信息处理

传感器与信息空间：连续状态下的信息处理

1. 历史信息状态与空间

将 $\tilde{u}_t$ 和 $\tilde{y}_t$ 与初始条件 $\eta_0$ 相结合，可得到时间 $t$ 时的历史信息状态：
$\eta_t = (\eta_0, \tilde{u}_t, \tilde{y}_t)$ （11.53）

时间 $t$ 时的历史信息空间是所有可能的 $\eta_t$ 的集合，记为 $I_t$。需要注意的是，$I_t$ 是一个函数空间，因为每个 $\eta_t \in I_t$ 都是时间的函数。在离散阶段的情况下，每个 $I_k$ 会使用（11.18）或（11.19）组合成一个单一的历史信息空间 $I_{hist}$。连续时间的类似情况可表示为：
$I_{hist} = \bigcup_{t\in T} I_t$ （11.54）

这是一个不规则的函数集合，因为它们具有不同的定义域；这种不规则性在离散阶段的情况中也会出现，其中 $I_{hist}$ 由不同长度的序列组成。

可以给出公式 11.1 中成本泛函的连续时间版本来评估计划的执行情况。设 $L$ 表示一个成本泛函，它可以应用于任何状态 - 动作历史 $(\tilde{x} t, \tilde{u}_t)$，得到：
$L(\tilde{x}_t, \tilde{u}_t) = \int {0}^{t} l(x(t’), u(t’))dt’ + l_F(x(t))$ （11.55）

其中 $l(x(t’), u(t’))$ 是瞬时成本，$l_F(x(t))$ 是最终成本。

2. 派生信息空间