42、神经网络中的连续吸引子与分岔分析

神经网络中的连续吸引子与分岔分析

1. 三维离散时间环形网络的连续吸引子

1.1 研究背景

神经网络根据静止状态的分布可分为离散吸引子网络和连续吸引子网络。连续吸引子是一组相连的稳定静止状态集，与离散吸引子网络不同，它能存储和处理连续变量，如群体编码信息、眼位、头部方向等。从数学角度看，连续吸引子是嵌入高维状态空间的低维流形，其维度可以是一维或多维，一维连续吸引子也称为线吸引子，可用于解释大脑如何成功保持眼睛静止。

近年来，环形网络受到越来越多的关注。在环形网络中，所有神经元排列成一个环，其连接矩阵通常是不对称的，因为权重矩阵是循环矩阵。循环矩阵是一类不对称矩阵，是特殊的托普利茨矩阵，其每一行向量相对于前一行向量向右旋转一个元素。以往对连续吸引子的研究主要集中在对称网络，对于高维不对称网络的连续吸引子问题分析较为困难。因此，研究三维环形网络带循环权重矩阵的连续吸引子具有重要意义。

1.2 预备知识

研究的环形网络的突触连接矩阵是循环矩阵，网络方程为：
[s(t + 1) = f(Ws(t)) + h]
其中 (t \geq 0)，(s \in R^N)，(f : R^N \to R^N) 是连续映射，(h = (h_1, \cdots, h_N)^T) 表示外部输入。

(N \times N) 循环矩阵 (W) 的形式为：
[W =
\begin{bmatrix}
w_1 & w_2 & w_3 & \cdots & w_N \
w_N & w_1 & w_2 & \cdots & w_{N