20、非线性动力学系统中的摆动与分岔现象解析

非线性动力学系统中的摆动与分岔现象解析

1. 摆的运动原理与特性

在重力 $m·g$ 的作用下，摆会因力 $f = m·g·sin φ$ 向 A 点移动。当摆到达 A 点时，由于惯性，它会继续运动，直到惯性力与重力达到平衡。此后，摆会开始反向运动，如此反复，这种运动被称为振荡。

摆运动的方程可表示为：
$m l
m g sin
k l
×× ×× .... == –
××
××
–
×× ××
jj
jj
jj$

经过一些变换并引入新变量 $ẋ_1 = x_2$ 后，摆可以用两个非线性微分方程组成的系统来表示：
$\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \
\dot{x}_2 = -\frac{g}{l} \sin x_1 - \frac{k}{m} x_2
\end{cases}$

在图中可以看到有 A 和 B 两个标记点。无论摆的初始偏角 $φ$ 是多少，经过一段时间围绕 A 点的振荡后，由于摩擦，摆最终会停在 A 点。如果将摆放在 B 点，其位置的微小偏差（无论何种原因）都会使摆向左或向右移动，经过围绕 A 点的若干次（阻尼）振荡后，摆最终仍会停在 A 点。这在科学上被称为“临界性”，一些系统在受到微小干扰时状态会发生显著变化，这类系统被称为“临界”系统。

由此可知，B 是不稳定的固定点，A 是稳定的固定点。也就是说，无论摆在 B 点附近的位置如何，摆都会远离 B 点（不稳定），而无论摆的下一个位置在哪里，它都会向 A 点移动（稳定）。

2. 分