21、全局与轨迹吸引子的结构性质、近似方法及应用

全局与轨迹吸引子的结构性质、近似方法及应用

在动力系统和微分方程的研究中，全局吸引子和轨迹吸引子的概念对于理解系统的长期行为至关重要。本文将深入探讨这些吸引子的结构性质、Faedo - Galerkin 近似方法以及相关的应用。

全局与轨迹吸引子的基本定义

首先，定义了实 Banach 空间 (W(M_1, M_2))：
[
W(M_1, M_2) = {u(·) \in C([M_1, M_2]; V ) : \frac{du}{dt}(·) \in L^2(M_1, M_2; H)}
]
其范数为 (|u| {W(M_1,M_2)} = |u| {C([M_1,M_2];V )} + |\frac{du}{dt}|_{L^2(M_1,M_2;H)})，其中 (-\infty < M_1 < M_2 < +\infty)。

同时，定义了严格 m - 半流 (G : R^+ \times H \to P(H))，(G(t, u_0) = {u(t) : u(·) \in K^+, u(0) = u_0})。严格 m - 半流需满足两个条件：
- (G(0, ·) = Id)（恒等映射）；
- (G(t + s, x) = G(t, G(s, x)))，对于任意 (x \in H)，(t, s \in R^+)。

接着，定义了不变全局吸引子 (A\subseteq H)，它需满足三个条件：
1. 不变性 ：(A = G(t, A))，对于所有 (t \geq 0)；
2. 吸引性