22、连续分布中的正态分布详解

连续分布中的正态分布详解

1. 正态分布概述

正态分布，也被称为“误差定律”，在统计学中占据着极为重要的地位。它广泛应用于自然现象的建模，并且是许多随机过程和分布的极限形式。历史上，卡尔·弗里德里希·高斯发现其可作为天文测量误差的模型，因此正态分布有时也被称为高斯分布。阿道夫·凯特勒是将其应用于人体测量的第一人，统计学家卡尔·皮尔逊在 1920 年正式命名为“正态分布”。

若随机变量 $X$ 具有参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的正态分布，其密度函数为：
[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty < x < \infty]
我们记为 $X \sim Norm(\mu, \sigma^2)$。

正态分布的密度曲线是著名的“钟形曲线”，具有以下特点：
- 参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 分别是分布的均值和方差。
- 密度曲线关于直线 $x = \mu$ 对称，取值范围为全体实数。
- 密度函数曲率发生变化的拐点位于均值 $\mu$ 左右一个标准差单位处，即 $x = \mu \pm \sigma$。

2. 正态分布的计算难点与工具

令人惊讶的是，正态累积分布函数 $F(x)$ 没有封闭形式的表达式：
[F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}} dt]
该积分无法用初等函数表示其原函数，因