17、数值分析与线性代数中的关键技术：最小二乘法、特征值与特征向量及相关定理

数值分析与线性代数中的关键技术：最小二乘法、特征值与特征向量及相关定理

在数值分析和线性代数领域，有许多重要的技术和定理，它们在解决各种实际问题中发挥着关键作用。本文将详细介绍最小二乘法拟合、特征值与特征向量的计算，以及Cayley - Hamilton定理等内容，并通过具体的例子和代码展示其应用。

1. 最小二乘法拟合

最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，用于找到与给定数据点最匹配的多项式。对于一组 (n) 个数据点 ((x_i, y_i))，要拟合一个 (m - 1) 次多项式，可以使用以下公式：
[A_N = (V^T V)^{-1} V^T Y]
其中，(V) 是范德蒙德矩阵，(Y) 是数据点的 (y) 值向量。

下面是一个MATLAB代码示例，用于实现最小二乘法拟合：

X=[x1;x2;x3;.......;xn];
Y=[y1;y2;y3;.......;yn];
n=length(X);
m=
%(m-1) is the degree of the polynomial
V=ones(n,m);
for j=2:m
    V(:,j)=X.*V(:,j-1);
end
AN=inv(V'*V)*(V'*Y)

此外，MATLAB还提供了内置的 polyfit 函数来实现最小二乘法拟合。可以查阅帮助文档了解其使用方法，并比较其与上述代码的差异。

示例： 求最适合数据点 ((1, 8.1), (2, 24.8), (3, 52.5), (4, 8