50、高维经济模型数值求解方法解析

高维经济模型数值求解方法解析

1. 求解效率分析

在四核心机器上，特定情况下的利用率接近 90%，例如通过计算 $\frac{4216.7}{1206.6×4} ≈0.88$ 。mex 转换在低维问题中能提升速度，但随着维度增加，性能会变差。这是因为对于大规模问题，mex 例程生成的未优化 C 代码效率低于向量化的 MATLAB 代码。此外，由于 GPU 的标准限制（如传输成本高）以及 MATLAB 语言在操作 GPU 方面的局限性，使用多个 GPU 进行并行计算在当前情况下效果不佳。

2. 高维问题求解的实用建议

在设计求解方法时，通常追求两个主要目标：高求解精度和低计算成本。这两个目标之间存在着复杂的权衡关系。以下是一些在高维应用中如何平衡这种权衡，以使求解方法更有效的考虑：
- 明确所需精度 ：在高维应用中，生成精确解的成本很高。随着状态空间维度的增加，网格点、积分节点、多项式项的数量以及模型方程的数量和复杂度都会迅速增长。例如，在一个具有两个状态变量的模型中，容易达到 $10^{-9}$ 的精度水平，但在一个具有一百个状态变量的类似模型中，这几乎是不可行的。因此，首先要问的问题是：“在给定的应用中，我需要多高的精度？”答案取决于近似误差的经济意义。对于某些目的而言准确的解，对于其他目的可能并不准确。例如，一种在模型变量中存在 5% 较大误差的扰动方法，在评估二阶矩时可能仍然足够准确，因为经验数据中的典型采样误差更大。然而，这种精度水平对于预测来说是不够的，比如预测美国增长率在 [-3%, 7%] 的 5% 区间内，这样的预测过于宽泛，没有实际用途。
- 选择低成本技术组合