25、长程力计算方法的深入剖析

长程力计算方法的深入剖析

在分子动力学模拟等领域中，长程力的计算是一个关键且具有挑战性的问题。不同的计算方法各有优劣，适用于不同的场景。下面将详细介绍几种常见的长程力计算方法。

1. 快速多极子方法（Fast Multipole Method, FMM）

快速多极子方法是一种高效的算法，其运行时间复杂度为 $O(N)$。研究表明，所需的计算时间与 $N (e(\log_2 \epsilon)^2 + f )$ 成正比，其中 $e$ 和 $f$ 是依赖于计算机系统和实现的常数，$\epsilon$ 是势计算的精度。精度决定了多极子和局部展开的阶数，即 $p \approx -\log_2 \epsilon$，该算法的存储需求也与 $N$ 成比例。

在二维情况下，FMM 能够以可接受的成本产生高精度的结果。例如，在模拟一个包含 30000 个点电荷嵌入 Lennard - Jones 盘的中性系统时，当 $p = 6$ 且采用串行代码实现，FMM 的运行速度是 Ewald 方法的两倍。

然而，在三维情况下，FMM 面临一些挑战。线性平移算子的应用成本较高，特别是 $m2l$ 算子，在均匀系统中其使用频率比 $m2m$ 或 $l2l$ 高 189 倍。不过，可以通过一些方法来降低 $m2l$ 变换的计算复杂度：
- 使用 FFT 技术 ：将变换矩阵和多极矩放置在网格上，并使用 FFT 技术计算 $L_{\ell’,m’}$ 系数，可显著提高速度。
- 采用平面波表示 ：用平面波表示 $1/r$ 的展开，替代多极子展开，能提高效率。
- 简化 $