9、统计力学与分子动力学的理论及算法解析

统计力学与分子动力学的理论及算法解析

1. 统计力学相关理论

1.1 毛细波理论

毛细波理论基于粗粒化自由能，反映与高度梯度相关的表面积增加。其自由能表达式为：
[F = \frac{1}{2}\gamma\iint dxdy\left[\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial h}{\partial y}\right)^2\right]]
其中，(\gamma) 是表面张力，该式适用于小梯度情况。通过在 (xy) 平面进行傅里叶级数展开，利用帕塞瓦尔定理和能量均分原理，可得到：
[F = \frac{\gamma}{2A}\sum_{k} k^2|\hat{h}(k)|^2 \Rightarrow \langle|\hat{h}(k)|^2\rangle = \frac{Ak_BT}{\gamma k^2}]
这里 (A) 是横截面积。高度分布呈高斯分布，均方偏差为：
[\langle\delta h(x,y)^2\rangle = \langle h(x,y)^2\rangle - \langle h(x,y)\rangle^2 \approx \frac{k_BT}{2\pi\gamma}\ln\left(\frac{L}{a}\right)]
其中，(a) 是小长度尺度，通常为分子尺寸量级，(L) 满足 (A = L^2)（假设为正方形横截面）。毛细波变化是观察到的密度分布宽度 (D) 的主要贡献因素，若假设与固有贡献 (D_0) 卷积，则有：
[\langle D\rangle^2 = D_0^2 + \frac{\pi}{