12、连续隐变量模型：原理、方法与应用

连续隐变量模型：原理、方法与应用

在数据科学和机器学习领域，连续隐变量模型是一类强大的工具，用于处理高维数据、进行降维和密度建模等任务。本文将深入探讨连续隐变量模型的相关内容，包括主成分分析（PCA）、概率PCA、因子分析、核PCA以及非线性隐变量模型等。

1. 连续隐变量模型的动机

许多数据集具有数据点靠近低维流形的特性。例如，离线数字图像数据集，将64×64像素的灰度图像嵌入到100×100的图像中，通过随机改变数字的位置和方向，虽然每个图像是100×100 = 10,000维空间中的一个点，但数据点实际上位于一个三维的子空间中，因为只有垂直、水平平移和旋转这三个自由度。对于真实的数字图像数据，还会有缩放以及由于个人书写差异带来的更多自由度，但与数据集的维度相比，这些自由度的数量仍然较少。

另一个例子是油流数据集，对于给定的气、水和油相的几何配置，只有油和水的比例这两个自由度，数据集的点位于一个二维流形上。在实际应用中，数据点不会精确地位于光滑的低维流形上，我们可以将数据点与流形的偏离解释为“噪声”，从而引出了生成式模型的观点，即先根据隐变量分布选择流形内的一个点，然后通过添加噪声生成观测数据点。

2. 主成分分析（PCA）

主成分分析是一种广泛应用的技术，用于降维、有损数据压缩、特征提取和数据可视化等。它有两种常见的定义：
- 最大方差定义 ：将数据正交投影到一个低维线性空间（主子空间），使得投影数据的方差最大。考虑一个数据集 ${x_n}$，$n = 1, \ldots, N$，$x_n$ 是 $D$ 维欧几里得变量。对于投影到一维空间（$M = 1$）的情况，我们定义一个 $D$